αντιστροφή

Η στροφή προς το αντίθετο μέρος ή κατά την αντίθετη φορά. (Γεωμ.) α) Στο (ευκλείδειο) επίπεδο. Έστω ένα επίπεδο E, ένας κύκλος του Κ με κέντρο έστω Ο, και ακτίνα μήκους έστω ρ (>0). Έστω ένα σημείο Ρ(≠Ο) του E· τότε η σχέση: OP·OP’ = ρ² ορίζει στην ακτίνα OP ένα ακριβώς σημείο P’. Με τον τρόπο αυτό ορίζεται μια απεικόνιση από το επίπεδο E στον εαυτό του· η απεικόνιση αυτή ονομάζεται μία α. στο επίπεδο, το Ο το κέντρο της α., ο Κ ο κύκλος της α. και ο αριθμός ρ² η δύναμη της α. To σημείο P’ ονομάζεται το αντίστροφο του Ρ, είναι δε (προφανώς) και το Ρ το αντίστροφο του P’. Το σημείο Ο δεν έχει αντίστροφο, ενώ τα σημεία της περιφέρειας της α. (και μόνο αυτά) αντιστοιχούν το καθένα στον εαυτό του (διπλά, σταθερά, σημεία της α.). Μία καμπύλη Γ’ του επιπέδου ονομάζεται η αντίστροφη άλλης Γ, εάν (και μόνο εάν) κάθε σημείο της Γ’ είναι το αντίστροφο ενός σημείο της Γ. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτόν αποδεικνύονται τα εξής: η αντίστροφη κάθε ανοιχτής ημιευθείας από το Ο είναι ο εαυτός της, η αντίστροφη κάθε ευθείας που δεν διέρχεται από το Ο είναι περιφέρεια από το Ο, η αντίστροφη κάθε περιφέρειας που δεν διέρχεται από το Ο είναι ευθεία που δεν διέρχεται από το Ο και η αντίστροφη κάθε περιφέρειας που δεν διέρχεται από το Ο είναι περιφέρεια που επίσης δεν διέρχεται από το Ο (η περιφέρεια της α. έχει ως αντίστροφη τον εαυτό της). Επειδή, αν ΟΡ > ρ, είναι ΟΡ’ < ρ και αν OP < ρ, είναι OP’ > ρ, συνάγεται ότι το εξωτερικό της περιφέρειας της α. απεικονίζεται στο εσωτερικό της και αντίστροφα. Αν στο επίπεδο Ε ληφθεί ένα ορθογώνιο σύστημα αναφοράς xOy και είναι Ρ = (x,y) και P’ = (x’, y’), τότε ισχύουν οι τύποι: Με τους τύπους αυτούς υπολογίζεται το αντίστροφο κάθε σημείου (x,y) ως προς την περιφέρεια α. Αν f (x,y) = 0 είναι η εξίσωση μιας καμπύλης, έστω Γ, του επιπέδου xOy, τότε η αντίστροφη καμπύλη της Γ ως προς περιφέρεια α. αυτή με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ έχει εξίσωση την: β) Στο επίπεδο του Γκάους (των μιγαδικών αριθμών). Ένα σημείο W ονομάζεται το αντίστροφο του z ως προς τον κύκλο με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα ρ, αν (και μόνο εάν) είναι: όπου z σημαίνει τον συζυγή μιγαδικό αριθμό του ξ. Εδώ, το Ο έχει ως αντίστροφο το σημείο ∞ (άπειρο) και το ∞ έχει ως αντίστροφο το 0. Η α. εδώ είναι μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του επιπέδου του Γκάους στον εαυτό του, πράγμα που δεν ισχύει προκειμένου για την α. στο ευκλείδειο επίπεδο. γ) Στον ευκλείδειο (τρισδιάστατο) χώρο. Με τη σχέση ΟΡ.ΟΡ’=ρ² ορίζεται μία απεικόνιση από τον ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο στον εαυτό του, κατά την οποία κάθε σημείο Ρ του χώρου, διαφορετικό από το κέντρο Ο σφαίρας του χώρου με ακτίνα ρ, έχει ακριβώς ένα αντίστροφό του σημείο P’. Το Ο ονομάζεται κέντρο της α., η σφαίρα ονομάζεται σφαίρα της α. και ο αριθμός ρ² δύναμη της α. Ορίζεται και εδώ η έννοια: καμπύλη αντίστροφη άλλης, όπως και στο επίπεδο, καθώς και –με ανάλογο τρόπο– η έννοια επιφάνεια αντίστροφη άλλης. Έτσι, η αντίστροφη κάθε σφαίρας είναι σφαίρα, εκτός από την περίπτωση σφαίρας διά του Ο, που η αντίστροφή της επιφάνεια είναι επίπεδο από το Ο. Αν ληφθεί ένα τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς Οxyz και είναι Ρ = (x,y,z) και P’ = (x’,y’,z’), το αντίστροφο του Ρ ως προς τη σφαίρα α., τότε είναι: Άξιο μνείας είναι ότι α. μπορεί να οριστεί και στο ν-διάστατο (ν > 3) ευκλείδειο χώρο (με ανάλογο τρόπο, όπως και διά ν = 2,3). Το αντίστροφο ενός σημείου ως προς μία περιφέρεια στο επίπεδο μπορεί να κατασκευαστεί μόνο με τον διαβήτη, καθώς και με τον αντιστροφέα, ένα όργανο που εφηύρε το 1864 ο Γάλλος αξιωματικός Σαρλ-Νικολά Ποσελιέ και έλυσε έτσι το (σημαντικό για την τεχνική των ατμομηχανών) πρόβλημα του μετασχηματισμού μιας ευθύγραμμης κίνησης σε κυκλική. Με τον αντιστροφέα σχεδιάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που διαγράφεται από ένα σημείο P’, όταν ένα άλλο σημείο Ρ (κατάλληλα συνδεόμενο με το P’) διαγράφει ένα τόξο περιφέρειας. (Λογ.) A. ονομάζεται στην ποίηση, και ιδιαίτερα στη λυρική, η ρυθμική περίοδος ή το σύνολο των στίχων που ανταποκρίνεται μετρικά στους στίχους της στροφής. Αν δύο ή περισσότεροι στίχοι συνδεθούν, δημιουργούν ένα μεγαλύτερο μελικό και ρυθμικό σώμα που ονομάζεται σύστημα. Ένα σύστημα που επαναλαμβάνεται μία ή περισσότερες φορές λέγεται στροφή. Από δύο όμοια συστήματα που ανταποκρίνονται το ένα στο άλλο, το πρώτο λέγεται στροφή και το δεύτερο α. Οι αρχαίοι ονόμαζαν την επανάληψη ανταπόδοση ή ανακύκληση. Στα λεγόμενα επωδικά ποιήματα, κάθε περικοπή αποτελείται από τρία συστήματα, από τα oποία τα δύο πρώτα έχουν το ίδιο μετρικό σχήμα (στροφή α.) ενώ το τρίτο, η επωδός, έχει διαφορετική μορφή και ανήκει σε άλλο μετρικό σχήμα. Η διαίρεση σε στροφή και α. είχε εισαχθεί στη λυρική ποίηση από τον Αλκμάνα (αρχές 7ου αι. π.Χ.). Στη χορική ποίηση και την αρχαία τραγωδία, τα χορικά άσματα, ιδιαίτερα η πάροδος και το στάσιμο, αποτελούνταν από στροφές και α. που έψελνε ολόκληρος ο χορός βαδίζοντας υπορχηματικά, πότε προς τα αριστερά (όταν έψελνε τις στροφές) και πότε προς τα δεξιά (όταν έψελνε τις α.). Όταν o χορός χωριζόταν σε δύο τμήματα (ημιχόρια), τις στροφές έψελνε το ένα ημιχόριο, βαδίζοντας από δεξιά προς τα αριστερά, και τις α. το άλλο, βαδίζοντας από αριστερά προς τα δεξιά. Παραδείγματα α. βρίσκουμε σε όλα τα αρχαία χορικά, τα τελειότερα όμως είναι του Σοφοκλή, αν και ο Ευριπίδης είχε καθιερώσει πολλές νέες μορφές και μέλη στα χορικά του. Η εναλλαγή με στροφές και α. χρησιμοποιήθηκε από όσους νεότερους έβαλαν αρχαία χορικά στις τραγωδίες τους, όπως o Σίλερ (Νύμφη της Μεσσήνης) και o Βερναρδάκης (Κυψελίδες).

* * *

η (Α ἀντιστροφή)

1. σύστημα στίχων σε χορικό αρχαίου δράματος το οποίο βρίσκεται σε μετρική και ρυθμική αντιστοιχία με το προηγούμενο σύστημα, τη στροφή

2. αμοιβαία μεταβολή («αντιστροφή των όρων», «αντιστροφή της αναλογίας»)

νεοελλ.

στροφή προς την αντίθετη κατεύθυνση

αρχ.

1. η στροφή, η κίνηση των χορευτών ενός χορικού άσματος προς κατεύθυνση αντίθετη από την προηγούμενη

2. ρητορικό σχήμα κατά το οποίο δύο κώλα μιας περιόδου τελειώνουν με την ίδια λέξη.